LOGICA MATEMATICA

Introducción.- Es una disciplina que trata de los métodos, modos y formas del razonamiento humano. Ofrece reglas y técnicas para determinar si un argumento es válido o no. Una de las metas fundamentales de la lógica es eliminar las ambigüedades del lenguaje ordinario.

Proposiciones.- Son la base del razonamiento lógico, consiste decidir la validez de una idea o enunciado.

Proposición.- Es toda oración o enunciado respecto de la cual se puede decir si es verdadera o falsa, pero no ambas a la vez. Si una proposición es verdadera, se dice que su valor de verdad es V y si es falsa F.

Operaciones proposicionales.-Dada una o dos proposiciones cuyos valores de verdad se conocen, las operaciones entre proposiciones tratan de generar otras proposiciones y caracterizar la proposición resultante a través de su valor de verdad.

Estas son: 

• La negación                  ⟶        "~"

• Conjunción                   ⟶         "∧"

• Disyunción                    ⟶         "∨"

• Implicación                   ⟶        "⇾"

• Doble implicación         ⟶       "⇿"

• Disyunción exclusiva    ⟶        "⊻"

Negación.- La negación de la proposicion "p" en "no p" se simboliza "~p" cuya tabla de valor de verdad seria la siguiente.

Conjunción.- Se llama conjunción de dos proposiciones por que p y q se obtiene uniéndolas por medio del conectivo "y" se escribe "p ∧ q"

Regla para determinar el valor de verdad de la conjunción

La conjunción de dos proposiciones es verdadera solamente cuando las dos proposiciones son verdaderas, en otro caso los demás son falsos.


Disyunción.- Se llama disyunción de dos proposiciones p y q a la proposición que se obtiene uniéndolas por medio del conectivo "o" se escribe "p ∨ q"

Regla para determinar el valor de verdad de la disyunción

La disyunción de dos proposiciones es falsa solamente si las dos proposiciones son falsas, en otro caso es verdadero.

Implicación.- Se llama implicación de dos proposiciones p y q a la proposición que se obtiene uniéndolas por medio del conectivo "si entonces" se escribe "p ⇾ q" donde "p" es la proposición llamada antecedente y "q" consecuente.

Regla para determinar el valor de verdad de la implicación

La implicación de dos proposiciones es falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente falso, en otro caso es verdadero.

Doble implicación.- Se llama doble implicación de dos proposiciones p y q a la proposición que se obtiene uniéndolas por medio del conectivo "si y solo si" se escribe "p ⇿ q"

Regla para determinar el valor de verdad de la doble implicación

La doble implicación de dos proposiciones p y q es verdadera si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad, en otro caso el falso.

Disyunción exclusiva.- Se llama disyunción exclusiva de dos proposiciones p y q a la proposición que se obtiene uniéndolas por medio del conectivo "o excluyente" se escribe "p ⊻ q"

Regla para determinar el valor de verdad de la disyunción exclusiva 

La disyunción exclusiva de dos proposiciones es verdadera si los valores de verdad son opuestos, en otro caso es falso.

Formula proposicional.- Es una combinación de proposiciones y conectivos lógicos que simboliza una proposición compuesta. ejemplo:

•  [ (p ∨ q) ⇾ r ] ∧ ( p ⇿ q)

•  [ (p ∧ q) ∨ r ] ⇾ ~p

Tablas de valores de verdad.-Es una formula proposicional se puede hallar a través de una tabla de verdad utilizando las definiciones de los conectivos lógicos. Si en una formula proposicional intervienen "n" proposiciones simples diferentes, entonces la tabla de valores de verdad habrá 2ⁿ combinaciones diferentes. Así, para dos proposiciones se tiene   2² = 4 posibles combinaciones de V y F. Para tres, 2³ = 8 posibles combinaciones, etc.

Clasificación de formulas proposicionales.- (Proposiciones compuestas) se clasifican según sus valores de verdad en tautología, contradicción, contingencia.

• Tautología.- Es una formula proposicional que es verdadera para cualquier valor de verdad de las demás proposiciones que componen. Ejemplo:

• Contradicción.- Es una formula proposicional que es falsa par cualquier valor de verdad de las proposiciones que la componen. Ejemplo:

• Contingencia.- Es una formula proposicional que no es tautología ni contradicción, si no ambas a la vez. Ejemplo:

Álgebra de proposiciones.- Son operaciones lógicas que se realizan en una formula proposicional aplicando adecuadamente ciertas reglas llamadas leyes lógicas. Es decir al igual que Álgebra básica  donde la simplificación de expresiones algebraicas es muy importante, en lógica también existe la necesidad de simplificar proposiciones complejas a través de ciertas equivalencias llamadas leyes lógicas.

Simplificación de proposiciones.- Se trata de expresar o transformar una formula proposicional en otro equivalente a ella pero lo más deducida posible. Para lo cual se debe usar por una y correctamente las leyes de lógicas.

Así mismo de especificarse en cada paso la ley o leyes que fueron utilizadas. Ejemplo

Simplificar

  ~(p ⇾ ~q) ∧ p ≡ ~(~p ∨ ~q) ∧ p // D. Impli.

                        ≡ [~(~p) ∧ ~(~q) ] ∧ p // L. M.

                           ≡ [ p ∧ q ] ∧ p // L. Absorción

                           ≡ (p ∧  p) ∧  q // L. Asociativa

                              ≡ p ∧ q // L. Idempotencia

                                 ∴   ~(p ⇾ ~q) ∧ p ≡  p ∧ q 

Circuitos lógicos.- Un circuito lógico con un interruptor puede estar abierto o cerrado. Cuando esta abierto no permite el paso de corriente, mientras que cuando es cerrada si, lo permite si asociamos una proposición intuitivamente a un interruptor, veremos que el Álgebra de circuitos la V verdadero de tal proposición indica que el interruptor esta abierto, podemos representar de forma gráfica una proposición.

Circuitos en serie y paralelo.-Las operaciones proposicionales se pueden representar por un circuito lógico con tantos interruptores como proposiciones que compone una formula proposicional, combinados en serie o paralelo según el conectivo lógico que une a las proposiciones.

Circuitos en serie (p ∧ q).- La conjunción de dos proposiciones esta representado por el circuito en serie:

Circuitos en paralelo (p ∨ q).- La disyunción de p y q es equivalente a un circuito en paralelo:

Inferencia lógica.- Se debe entender por inferencia a un razonamiento en que a partir de un conjunto de premisas proposiciones se tiene un resultado llamado conclusión, un razonamiento es válido si y solamente si la conjunción de premisas implica la conclusión. Es decir que si las premisas son verdaderas las conclusiones que derivan de ella son también verdaderas sin embargo si una o mas premisas son falsas la conclusión que derivan de ella también sera falsa.

Reglas de inferencia.- Se llama regla de inferencia a todo argumento universalmente correcto (o formas correctas de razonamiento) que representan métodos generales de razonamiento válido.

Las siguientes son formas de razonamiento:

Ejemplos:

Funciones proposicionales.- Es una variable "x" es toda expresión en la que "x" representa al sujeto u objeto perteneciente a cierto conjunto, la cual se convierte en proposición para cada especificación de "x". Es decir si  P_(X) Es una expresión que se convierte en una proposición a sustituir a la variable "x" por un sustituto "x"

P_(X) “x es múltiplo de 10” (V)

 P₍₂₎  “2 es múltiplo de 10” (V)

     P₍₃₎  “3 es múltiplo de 10” (F)